プランクの法則
よみ方
ぷらんくのほうそく
英 語
Planck's law（of black body radiation）
説 明
物質と熱平衡状態の放射が出すエネルギー密度（放射輝度）分布を表す法則。発見者であるドイツのプランク（Max Planck）にちなんでこの名前で呼ばれる。放射場と熱平衡状態にある物体の放出する電磁波を黒体放射と呼ぶため、プランクの黒体放射の法則とも呼ばれる。また、放射エネルギー密度分布（スペクトルエネルギー分布）そのものはプランク分布あるいはプランク関数と呼ばれる。一般には、プランク分布あるいはプランク関数をプランクの法則とよぶこともある。
絶対温度 ![T\,{\rm [K]}](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=T%5C%2C%7B%5Crm%20%5BK%5D%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "T\,{\rm [K]}")
ここで 
となる。ここで 
プランク分布あるいはプランク関数のグラフは、表されているものが
プランク分布
において最大となる。これをウィーンの変位則という。
黒体の表面（単位面積）から前方のあらゆる方向に向かって単位時間に放射される全エネルギー 
ここで、
と定義すると、
となる。つまり 
プランクはこの法則の導出を考える過程で、黒体放射の入っている空洞壁の振動子のエネルギーが連続した値を取ることができず、
![B_\nu(T)= \frac{2 h \nu^3}{c^2} \frac{1}{{\rm exp}\, \left( \frac{h\nu} {k_{\rm B}T} \right) - 1}\,\,\,\,[{\rm J}\,\, {\rm s}^{-1}\,{\rm m}^{-2}\,{\rm Hz}^{-1}\,{\rm sr}^{-1}]\\](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=B_%5Cnu%28T%29%3D%20%5Cfrac%7B2%20h%20%5Cnu%5E3%7D%7Bc%5E2%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%5Crm%20exp%7D%5C%2C%20%5Cleft%28%20%5Cfrac%7Bh%5Cnu%7D%20%7Bk_%7B%5Crm%20B%7DT%7D%20%5Cright%29%20-%201%7D%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5B%7B%5Crm%20J%7D%5C%2C%5C%2C%20%7B%5Crm%20s%7D%5E%7B-1%7D%5C%2C%7B%5Crm%20m%7D%5E%7B-2%7D%5C%2C%7B%5Crm%20Hz%7D%5E%7B-1%7D%5C%2C%7B%5Crm%20sr%7D%5E%7B-1%7D%5D%5C%5C&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "B_\nu(T)= \frac{2 h \nu^3}{c^2} \frac{1}{{\rm exp}\, \left( \frac{h\nu} {k_{\rm B}T} \right) - 1}\,\,\,\,[{\rm J}\,\, {\rm s}^{-1}\,{\rm m}^{-2}\,{\rm Hz}^{-1}\,{\rm sr}^{-1}]\\")
![B_\lambda(T) =\frac{2hc^2}{\lambda^5} \frac{1}{{\rm exp}\, \left(\frac{hc}{k_{\rm B}T\lambda} \right)-1}\,\,\,\,[{\rm J}\,{\rm s}^{-1}\,{\rm m}^{-2}\,{\rm m}^{-1}\,{\rm sr}^{-1}]\\](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=B_%5Clambda%28T%29%20%3D%5Cfrac%7B2hc%5E2%7D%7B%5Clambda%5E5%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%5Crm%20exp%7D%5C%2C%20%5Cleft%28%5Cfrac%7Bhc%7D%7Bk_%7B%5Crm%20B%7DT%5Clambda%7D%20%5Cright%29-1%7D%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5B%7B%5Crm%20J%7D%5C%2C%7B%5Crm%20s%7D%5E%7B-1%7D%5C%2C%7B%5Crm%20m%7D%5E%7B-2%7D%5C%2C%7B%5Crm%20m%7D%5E%7B-1%7D%5C%2C%7B%5Crm%20sr%7D%5E%7B-1%7D%5D%5C%5C&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "B_\lambda(T) =\frac{2hc^2}{\lambda^5} \frac{1}{{\rm exp}\, \left(\frac{hc}{k_{\rm B}T\lambda} \right)-1}\,\,\,\,[{\rm J}\,{\rm s}^{-1}\,{\rm m}^{-2}\,{\rm m}^{-1}\,{\rm sr}^{-1}]\\")
![\lambda_{\rm max}=\frac{2.8978\times10^{-3}}{T}\,\,\,\,[{\rm m}]](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Clambda_%7B%5Crm%20max%7D%3D%5Cfrac%7B2.8978%5Ctimes10%5E%7B-3%7D%7D%7BT%7D%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5B%7B%5Crm%20m%7D%5D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "\lambda_{\rm max}=\frac{2.8978\times10^{-3}}{T}\,\,\,\,[{\rm m}]")
![\hspace{1cm}= \frac{2\pi^4 k_{\rm B}^4}{15h^3c^2}T^4\,\,\,\,[{\rm J}\,{\rm s}^{-1}\,{\rm m}^{-2}\,{\rm sr}^{-1}]\,(=[{\rm W}\,{\rm m}^{-2}\,{\rm sr}^{-1}])](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Chspace%7B1cm%7D%3D%20%5Cfrac%7B2%5Cpi%5E4%20k_%7B%5Crm%20B%7D%5E4%7D%7B15h%5E3c%5E2%7DT%5E4%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5B%7B%5Crm%20J%7D%5C%2C%7B%5Crm%20s%7D%5E%7B-1%7D%5C%2C%7B%5Crm%20m%7D%5E%7B-2%7D%5C%2C%7B%5Crm%20sr%7D%5E%7B-1%7D%5D%5C%2C%28%3D%5B%7B%5Crm%20W%7D%5C%2C%7B%5Crm%20m%7D%5E%7B-2%7D%5C%2C%7B%5Crm%20sr%7D%5E%7B-1%7D%5D%29&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "\hspace{1cm}= \frac{2\pi^4 k_{\rm B}^4}{15h^3c^2}T^4\,\,\,\,[{\rm J}\,{\rm s}^{-1}\,{\rm m}^{-2}\,{\rm sr}^{-1}]\,(=[{\rm W}\,{\rm m}^{-2}\,{\rm sr}^{-1}])")
![\frac{2\pi^5k_{\rm B}^4}{15h^3c^2}=\sigma =5.67\times10^{-8}\,\,\,\,[W\,{\rm m}^{-2}\,{\rm K}^{-4}]](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cfrac%7B2%5Cpi%5E5k_%7B%5Crm%20B%7D%5E4%7D%7B15h%5E3c%5E2%7D%3D%5Csigma%20%3D5.67%5Ctimes10%5E%7B-8%7D%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5BW%5C%2C%7B%5Crm%20m%7D%5E%7B-2%7D%5C%2C%7B%5Crm%20K%7D%5E%7B-4%7D%5D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "\frac{2\pi^5k_{\rm B}^4}{15h^3c^2}=\sigma =5.67\times10^{-8}\,\,\,\,[W\,{\rm m}^{-2}\,{\rm K}^{-4}]")
![I(T)=\sigma{T}^4\,\,\,\,[{\rm J}\,{\rm s}^{-1}\,{\rm m}^{-2}] = [W\,{\rm m}^{-2}]](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=I%28T%29%3D%5Csigma%7BT%7D%5E4%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5B%7B%5Crm%20J%7D%5C%2C%7B%5Crm%20s%7D%5E%7B-1%7D%5C%2C%7B%5Crm%20m%7D%5E%7B-2%7D%5D%20%3D%20%5BW%5C%2C%7B%5Crm%20m%7D%5E%7B-2%7D%5D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "I(T)=\sigma{T}^4\,\,\,\,[{\rm J}\,{\rm s}^{-1}\,{\rm m}^{-2}] = [W\,{\rm m}^{-2}]")
2022年01月23日更新
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