フーリエ変換

よみ方

ふーりえへんかん

英　語

Fourier transform

説　明

数学的には、実変数の実関数もしくは複素関数を別の関数に写す変換の１つで、 $s(x)$ に対して $e^{i2\pi x\xi}$ を基底として展開した係数に相当する関数 $S(\xi)$ を対応させるもの。具体的には、 $S(\xi)= \int _{-\infty} ^{+\infty}s(x)e^{-i2\pi x\xi}\ dx$ で与えられる。ここで $i$ は虚数単位。ただし、 $2\pi$ を付さない定義を用いている場合もあるので注意。
$x$ が物理次元を持つ量ならば、 $\xi$ は $\frac{1}{x}$ の物理次元を持つ。例えば、 $x$ として時刻 $t$ をとるなら $\xi$ は周波数 $f$ となり、 $x$ として空間位置をとるなら $\xi$ は空間周波数 $u$ となる。このため、天文学ではフーリエ変換は分光スペクトルのほか、望遠鏡などの光学系の解析や電波干渉計を理解するための基礎理論となるなど、フーリエ変換の応用範囲は極めて広い。
天文学や物理学が対象とする測定量を表す関数の場合、フーリエ変換で関連付けられる $s(x)$ と $S(\xi)$ とは $s(x)= \int _{-\infty} ^{+\infty}S(\xi)e^{i2\pi x\xi}\ d\xi$ の関係を満たす。こちらをフーリエ逆変換と呼ぶ。
実際の測定値を表す関数の場合、無限に広い範囲での値を得ることはできないので、多くの場合は、十分広いと考えられる範囲外では0となると仮定して計算を行う。また、連続的に測定することも難しいため、離散的な値で代用する。フーリエ変換を定義に基づいて計算するには多大な計算量を必要とするので、いくつかの条件および仮定を置くことで、計算機上で高速にフーリエ変換を行うアルゴリズムが考案されており、高速フーリエ変換と呼ばれる。