測地線

よみ方

そくちせん

英　語

geodesic

説　明

リーマン空間においてそれに沿って接線ベクトルが平行移動する曲線として定義される経路。曲線に沿って計算した長さが極値をとる停留曲線でもある。時空の場合、自己重力を無視した場合の質点の運動方程式を与える。
$\tau$ を固有時間として質点の世界線を $x^\mu=x^\mu(\tau)$ とすると測地線の方程式は次のように書ける。
$\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2}+{\it \Gamma}^\mu_{\alpha\beta} \frac{d x^{\alpha}}{d\tau}\frac{d x^\beta}{d\tau}=0$
ここで ${\it \Gamma}^\mu_{\alpha\beta}$ はメトリックテンソル $g_{\mu\nu}$ からつくられるクリストッフェル記号である。
${\it \Gamma}^\mu_{\alpha\beta} =\frac{1}{2} g^{\mu\nu} \left( \frac{\partial g_{\alpha\nu}}{\partial x^\beta} + \frac{\partial g_{\nu\beta}}{\partial x^{\alpha}}-\frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^\nu} \right)$