相関関数

よみ方

そうかんかんすう

英　語

correlation function

説　明

共通する１つの変数 $t$ にしたがって変動する2つの信号 $s_1(t)$ , $s_2(t)$ の間にどの程度の関連性があるかを、変数の差 $\tau$ の関数として表したものを相関関数と呼ぶ。信号が時系列のデータの場合には、変数 $t$ は時刻となる。関連性を調べる２つの信号 $s_1(t)$ , $s_2(t)$ が同一のものを自己相関関数、異なる場合を相互相関関数という。数学的には、次の式で定義される。
$C_{12}(\tau) = \langle s_1(t) s_2^\dagger(t-\tau) \rangle$
ここで、 $\langle x \rangle$ は $x$ の標本平均をとることを、 $\dagger$ は複素共役（信号が複素数の場合）を表す。信号が時系列データで、エルゴード性が成り立つと考えられる場合には、標本平均が時間平均に等しいので、時間平均
$C_{12}(\tau) = \overline{s_1(t) s_2^\dagger(t-\tau)}$
で代用することが多い。ここで、 $\overline{x}$ は $x$ の時間平均を表す。また、2つの信号の振幅により正規化された相関関数
$\hat{C}_{12}(\tau) = \frac{\overline{s_1(t) s_2^\dagger(t-\tau)}}{\sqrt{\overline{|s_1(t)|^2}\ \overline{|s_2(t)|^2}}}$
を使う場合もある。正規化された相互相関関数は
$|\hat{C}_{12}(\tau))| \le 1$
を満たす。