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プランクの法則

高

よみ方

ぷらんくのほうそく

英 語

Planck's law(of black body radiation)

説 明

物質と熱平衡状態の放射が出すエネルギー密度(放射輝度)分布を表す法則。発見者であるドイツのプランク(Max Planck)にちなんでこの名前で呼ばれる。放射場と熱平衡状態にある物体の放出する電磁波を黒体放射と呼ぶため、プランクの黒体放射の法則とも呼ばれる。また、放射エネルギー密度分布(スペクトルエネルギー分布)そのものはプランク分布あるいはプランク関数と呼ばれる。一般には、プランク分布あるいはプランク関数をプランクの法則とよぶこともある。
絶対温度  T\,{\rm [K]}  の黒体から単位面積を通して単位時間、単位立体角、単位周波数あたり放射されるエネルギー密度は、周波数 \nu の関数として次の式で与えられる。
B_\nu(T)= \frac{2 h \nu^3}{c^2} \frac{1}{e^{h\nu/k_{\rm B}T} - 1}\,\,\,\,[{\rm J}\,\, {\rm s}^{-1}\,{\rm m}^{-2}\,{\rm Hz}^{-1}\,{\rm sr}^{-1}]
ここで  h  はプランク定数k_{\rm B}ボルツマン定数c光速度であり、[  ]内は単位を表す。これを単位周波数あたりではなく単位波長あたりにして波長 \lambda の関数で表すと、
B_\lambda(T) =\frac{2hc^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{hc/k_{\rm B}\lambda T}-1}\,\,\,\,[{\rm J}\,{\rm s}^{-1}\,{\rm m}^{-2}\,{\rm \lambda}^{-1}\,{\rm sr}^{-1}]
となる。ここで c=\nu\lambda の関係がある。この B_\nu(T)B_\lambda(T) をプランク分布あるいはプランク関数と呼ぶ。
プランク分布あるいはプランク関数のグラフは、表されているものが B_\nu(T)B_\lambda(T) か(横軸が周波数 \nu か波長 \lambda か)、また目盛が線形目盛か対数目盛か等によって、見え方が大きく変わることに注意する。
プランク分布 B_\lambda(T) は波長
\lambda_{\rm max}=\frac{2.8978\times10^{-3}}{T}\,\,\,\,[{\rm m}]
において最大となる。これをウィーンの変位則という。
B_\nu(T) あるいは B_\lambda(T) を全振動数あるいは全波長に渡って積分すれば全エネルギー密度 u(T) が求まる。
u(T)=\int_0^\infty B_\nu(T){\rm d}\nu= \int_0^\infty B_\lambda(T){\rm d}\lambda
\hspace{1cm}= \frac{2\pi^4 k_{\rm B}^4}{15h^3c^2}T^4\,\,\,\,[{\rm J}\,{\rm s}^{-1}\,{\rm m}^{-2}\,{\rm sr}^{-1}]\,(=[{\rm W}\,{\rm m}^{-2}\,{\rm sr}^{-1}])
黒体の表面(単位面積)から前方のあらゆる方向に向かって単位時間に放射される全エネルギー I(T) は、u(T) を出射方向毎に重み {\rm cos}\,\theta\theta は表面に垂直な方向と出射方向とのなす角度)をつけて前方に向かう立体角 2\pi に渡って積分した値となる。すなわち、
I(T)=\int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\,u(T)\,{\rm cos}\,\theta\,{\rm sin}\,\theta\,{\rm d}\theta{\rm d}\phi=\pi{u(T)}
ここで、
\frac{2\pi^5k_{\rm B}^4}{15h^3c^2}=\sigma =5.67\times10^{-8}\,\,\,\,[W\,{\rm m}^{-2}\,{\rm K}^{-4}]
と定義すると、
I(T)=\sigma{T}^4\,\,\,\,[{\rm J}\,{\rm s}^{-1}\,{\rm m}^{-2}] = [W\,{\rm m}^{-2}]
となる。つまり I(T) は温度 T の4乗に比例する。これをシュテファン-ボルツマンの法則といい、\sigmaシュテファン-ボルツマン定数と呼ばれる。
プランクはこの法則の導出を考える過程で、黒体放射の入っている空洞壁の振動子のエネルギーが連続した値を取ることができず、h\nu(エネルギー量子)の整数倍になっていると仮定した。このエネルギーの量子仮説はその後の量子力学の発展に寄与した。

2020年01月08日更新

関連画像

* 単位周波数あたりの輝度で表したプランク分布。[rad^2]=[sr]である。
中井直正「HIガスの観測」、シリーズ現代の天文学第6巻、福井・犬塚・大西・中井・舞原・水野編『星間物質と星形成』2.2節 図2.3(日本評論社)
* 単位波長あたりの輝度で表したプランク分布。[rad^2]=[sr]である。
中井直正「HIガスの観測」、シリーズ現代の天文学第6巻、福井・犬塚・大西・中井・舞原・水野編『星間物質と星形成』2.2節 図2.4(日本評論社)
* 黒体放射のスペクトル(プランク分布)。横軸は波長で縦軸は単位波長(および単位面積、単位時間、単位立体角)あたりの放射強度(輝度)。上は線形目盛で下は対数目盛。
山下卓也「天体からの光・赤外放射」、シリーズ現代の天文学第15巻、家・岩室・舞原・水本・吉田編『宇宙の観測I』第2版 2章 図2.1(日本評論社)
* シュテファン-ボルツマンの法則を導く計算の説明図。左図は、以下のサイトにある図を参考にして作成した。(岡村定矩)
http://fnorio.com/0119Stefan_Boltzmann_law_of_radiation0/Stefan_Boltzmann_law_of_radiation0.html