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球面調和関数

 

よみ方

きゅうめんちょうわかんすう

英 語

spherical harmonics

説 明

特殊関数の一つで、ラプラスの演算子(デカルト座標 (x,y,z) なら \partial^2/\partial x^2+\partial^2/\partial y^2+\partial^2/\partial z^2 )を3次元極座標 (r,\theta,\phi) で表したときの角度部分の固有関数。すなわち、球面調和関数 Y_l^m(\theta,\phi)
\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}+ \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\right)Y_l^m(\theta,\phi) =-l(l+1)Y_l^m(\theta,\phi)
を満たす。またY_l^m(\theta,\phi) はルジャンドルの陪関数P_l^mを用いてY_l^m(\theta,\phi) =(-1)^{(m+|m|)}\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}} \times P_l^{|m|}(\cos\theta)e^{im\phi}
と書けることも知られている。指数 l は次数、m は方位指数と呼ばれ、Y_l^m(\theta,\phi)が1価関数になるためには lm はともに整数である必要がある。球面調和関数は太陽の固有振動など、球対称な構造に関する、ラプラス演算子を含む微分方程式で記述される現象を扱う際に現れる。また、正規直交関数系をなすので、球面上のスカラー関数を展開する際にも使われる。

2018年04月29日更新

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