エネルギー運動量テンソル

よみ方

えねるぎーうんどうりょうてんそる

英　語

energy-momentum tensor

説　明

時間あるいは空間一定面を横切るエネルギーおよび運動量の流束を表す物理量で、 2階のテンソルで表現される。流体静止系では、エネルギー密度（時間・時間成分）および運動量密度（空間・時間成分）、エネルギー流束（時間・空間成分）、および運動量密度流束である圧力および応力（空間・空間成分）を成分として持つ。運動量と4元運動量の関係と同じように、ニュートン力学における応力テンソルの相対論的拡張と考えると理解しやすい。質量とエネルギーの同等性、および応力がモーメントをゼロにするように分布することから対称テンソルとなる。非相対論的な完全流体の場合は、密度 $\rho$ 、速度 $(v_x,v_y,v_z)$ 、圧力 $p$ を用いて

$T^{\mu\nu}=\begin{pmatrix} \rho & \rho v_x & \rho v_y & \rho v_z \\ \rho v_x &p+\rho v_x^2 & \rho v_x v_y & \rho v_x v_z\\ \rho v_y &\rho v_x v_y & p+\rho v_y^2 & \rho v_y v_z\\ \rho v_z &\rho v_x v_z & \rho v_y v_z &p+\rho v_z^2 \end{pmatrix}$

と書ける。 $\mu$ , $\nu$ は0が時間成分、1, 2, 3は $x$ , $y$ , $z$ 成分を表す。一般相対性理論においては、ラグランジアン密度の時空計量に対する変分によって定義される。アインシュタイン方程式とビアンキ恒等式から、全エネルギー運動量テンソルの共変微分による発散はゼロとなるが、これは重力場を除いた全エネルギー運動量の局所的な保存を意味する。