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レーン-エムデン方程式

 

よみ方

れーんえむでんほうていしき

英 語

Lane-Emden equation

説 明

球対称な自己重力系の構造を表す方程式。名称はレーン(J.H. Lane)とエムデン(R. Emden)からとられている。
恒星の内部構造は、静水圧平衡、連続の式、状態方程式、エネルギー輸送、エネルギー保存、および吸収係数の式で記述される。このうち、静水圧平衡の式と連続の式は
    \frac{dP}{dr}=-GM_r\frac{\rho}{r^2},\\   \frac{dM_r}{dr}=4\pi r^2\rho
(ここでM_rは星の中心から半径r内の質量、\rhoは密度、Pは圧力、Gは万有引力定数)と表される。一般に圧力は密度と温度によるが、P=K\rho^{(1+1/n)} の形(ポリトロープ)を仮定して解くとエネルギーの式から分離され、
 \frac{1}{z^2}\frac{d}{dz}\left(z^2 \frac{dw}{dz}\right)=-w^n
を得る。ここで
   z=A r,\quad A^2=[4 \pi G/(n+1)K] \rho_c^{(n-1)/n},\\  w(z)=(\rho/\rho_c)^{1/n},\qquad \rho_c=\rho(0)
である。
これをレーン-エムデン方程式という。これにより、ポリトロープ関係のn(ポリトロープ指数)を与えれば星の中心からの距離とガス密度の関係を得ることができる。

2018年03月06日更新

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