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アインシュタイン方程式

高

よみ方

あいんしゅたいんほうていしき

英 語

Einstein equation

説 明

アインシュタインの提唱した一般相対性理論の基礎方程式(ここで、Gcは万有引力定数と光速度を表す)
 G_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}
左辺は、時空の幾何学的構造を表すアインシュタインテンソル  G_{\mu\nu} で、それはリッチテンソル  R_{\mu\nu} と計量テンソル(メトリックテンソル)g_{\mu\nu}、スカラー曲率Rを用いて、
 G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R
とかける。 右辺はエネルギー運動量テンソル T_{\mu\nu}8\pi G/c^4 倍で表される。すなわち、この方程式は宇宙に存在する物質のエネルギーと運動量が、重力定数を介してその容れ物である宇宙の幾何学的構造を決定する、という形になっている。なお、ここでテンソルとは時間と空間3次元の計4次元からなる行列量であり、添え字 \mu, \nu は時空間の4つの座標成分を取る。
時空の幾何学を完全に記述する量は、4つの添字を持ったリーマンテンソルR_{\mu\nu\alpha\beta}(曲率テンソルともいう)と呼ばれ、その独立な成分は4次元では20個ある。アインシュタインテンソルは、リーマンテンソルから作られる添え字2つを持った量で、独立な数は4次元では20個となる。この20個の成分がすべて0の時に時空は平坦となる。したがって物質がなければアインシュタインテンソルのすべての成分は0になるが、このことは必ずしも時空が平坦であることを意味しない。物質がなくても時空は曲がることができる。たとえばブラックホールや重力波を表すアインシュタイン方程式の解は、物質が存在しない状況での解である。

2018年06月18日更新

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