重力ポテンシャルのような$1/r$ の形を持つ関数を展開するときに現れる多項式のこと。
具体的には

$$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d{x}^n}(x^2-1{)}^n$$

と書ける。たとえば、

$$P_0(x)=1,P_1(x)=x,P_2(x)=\frac{3x^2-1}{2}$$

である。漸化式

$$(n+1)P_{n+1}(x)-(2n+1)x{P}_n(x)+n{P}_{n-1}(x)=0$$

あるいは

$$n{P}_n(x)=x\frac{d{P}_n}{dx}-\frac{d{P}_{n-1}}{dx}$$

から求めることもできる。