計量

よみ方

けいりょう

英　語

metric

説　明

メトリックともいう。一般相対性理論における計量とは、時空間の局所的な構造を特徴づける基本的な量である。たとえば $x-y$ 座標の張られた平坦な2次元平面において、微小な間隔 $(dx,dy)$ だけ離れた2点間の物理的距離の2乗はピタゴラスの定理により $dl^2 = dx^2 + dy^2$ で与えられる。ところが曲がった空間においてはどのような座標を張ろうともこの形で表すことはできず、一般に次のようになる。
$dl^2=\sum_{i,j=1}^2 g_{ij} dx^i dx^j$ 　ただし、 $dx^1=dx, dx^2 = dy$ とする。
ここで $2\times 2$ 行列で表される量 $g_{ij}$ がこの2次元面の計量と呼ばれる量である。同様に4次元ミンコフスキー時空間 $(t,x,y,z)$ 中で任意に微小な間隔だけ離れた2つの事象の距離は $ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$ で与えられるが、一般の曲がった時空間では次のようになる。
$ds^2 =\sum_{\mu,\nu=0}^3g_{\mu\nu}dx^\mu{}dx^\nu$ 　ただし $dx^0=cdt, dx^1 =dx, dx^2 =dy, dx^3 = dz$ とする。
ここで $4\times 4$ 行列で表される量 $g_{\mu\nu}$ がこの時空間における計量である。一般相対性理論におけるアインシュタイン方程式は、計量 $g_{\mu\nu}$ に対する非線形偏微分方程式となっている。それは時空間の構造を決める計量と、その中にあるエネルギー成分の状態を定量的に関係づける方程式である。